Računanje Pi-ja s pomočjo fibonaccijevih števil

Spomnimo se kaj so fibonaccijeva števila:

Eulerjeva formula pravi:

Formula je »dobra« za računanje števila Pi, saj sta

oba manjša od 1. Manjša vrednost argumentov pomeni boljšo konvergenco vsote in zato lahko izračunamo Pi zelo natancno v nekem doglednem času. Na tem mestu se vprašamo: Ali obstajata še kakšna dva kota, katerega tangens poznamo in katerih rezultat je

.Odgovor je seveda DA. Pa si poglejmo nekaj primerov:
arctan(1) = arctan(1/2) + arctan(1/3) arctan(1/3) = arctan(1/5) + arctan(1/8) arctan(1/8) = arctan(1/13) + arctan(1/21) arctan(1/21) = arctan(1/34) + arctan(1/55) Lahko jih celo kombiniramo: Pi/4 = arctan(1) = arctan(1/2) + arctan(1/3) = arctan(1/2) + arctan(1/5) + arctan(1/8) To lahko razvijemo dalje v
Pi/4 = arctan(1/2) + arctan(1/5) + arctan(1/13) + arctan(1/21) Po vsej verjetnosti ste že opazili, da gre za fibonaccijevo zaporedje števil. Vendar je kljub temu potrebna previdnost, saj za vsa fibonaccijeva števila to ne velja. Npr: kot vidimo ni na levi strani enačb recimo arctan(1/5), niti ni arctan(1/13), .... Le za sodo indeksirana fibonaccijeva števila velja to pravilo.
Poizkusimo postaviti bolj splošno formulo: Pravkar smo videli, da imamo neskončno mnogo formul za izračuna števila Pi, ki uporabljajo fibonaccijeva števila:
Pi/4 = arctan(1) = arctan(1/2) + arctan(1/3) = arctan(1/2) + arctan(1/5) + arctan(1/8) = arctan(1/2) + arctan(1/5) + arctan(1/13) + arctan(1/21) = arctan(1/2) + arctan(1/5) + arctan(1/13) + arctan(1/34) + arctan(55) =... Zapišimo zgornji izraz s fibonaccijevimi simboli: Pi/4 = arctan(1/F1 ) = arctan(1/F3) + arctan(1/(F4) = arctan(1/F3) + arctan(1/F5) + arctan(1/F6) = arctan(1/F3) + arctan(1/F5) + arctan(1/F7) + arctan(1/F8) = arctan(1/F3) + arctan(1/F5) + arctan(1/F7) + arctan(1/F9) + arctan(1/F10) = ... Kaj je sedaj splošna formula? To se hitro ugotovi:

Če nadaljujemo razširjanje zadnjega člena v neskončnost dobimo formulo:

Tu si lahko ogledate kako je s konvergenco te vrste. V polje "število iteracij" vpišite koliko členov želite sešteti in pritisnite izračunaj. Odprlo se bo novo okno v kakterem lahko vidite vmesne izračune. V polje rezultat se bo ob koncu vpisal rezultat te delne vsote.

Zgornja formula pa je le poseben primer ko je k=1 bolj splošne formule:

Lucasova števila in Pi

Lucasova števila (oznaka: L_n)se računa po enakem postopku kot fibonacciejva. Edina razlika je v tem, da začnemo z 2 in 1 in ne z 0 in 1. V tabeli je nekaj členov za primerjavo:

n: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...

F_n: 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 ...

L_n: 2 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 ...

Velja naslednja zveza:

Če postavimo formulo (B) v skrajšani obliki (

) ob bok Eulerjevi formuli (A) dobimo:
{F_2n} = {F_2n+1} + {F_2n+2} (A)
{F_2n+1} = {L_2n} + {L_2n+2} (B)
Poglejmo si to na primeru: Začnimo z {1} = {2} + {3}={F₃} + {F₄} Sedaj lahko liho indeksirano »Fibonaccijevo število« nadomestimo z uporabo (B) z vsoto dveh Lucasovih števil. Tako dobimo:
{F₃} + {F₄} = {L₂} + {L₄} + {F₄}
Ko naletimo na sodo indeksirano »fibonaccijevo število« ga z uporabo (A) nadomestimo z vsoto dveh fibonaccijevih števil. Dobimo:
= {L₂} + {L₄} + {F₅} + {F₆} = = {L₂} + {L₄} + {L₄} + {L₆} + {F₆} = ...= {L₂} + 2{L₄} + 2{L₆} + 2{L₈} + 2{L₁₀} +...
Tako dobimo sledečo formulo:

Zgodovina števila Pi