Arhimedova ploščina parabole

1.UVOD

a) Geometrijska definicija parabole

b) Klasična konstrukcija parabole

c) Enačba parabole

2.ARHIMEDOVA PLOŠČINA PARABOLE

a)Konstrukcija Arhimedovega trikotnika

b)Trditev o razdelitvi Arhimedovega trikotnika

c)Arhimedov izrek

d)Izražava ploščine parabolnega odseka z njegovo vertikalno širino

3.)LITERATURA

Arhimed je v življenju počel veliko zanimivih stvari. Med temi najdemo tudi veliko geometrijskih problemov, kot je na primer naslednji:

Določiti ploščino parabolnega odseka (območja med parabolo in tetivo parabole).

Tega problema bi se danes lahko lotili precej preprosto s pomočjo integriranja, kar je bilo seveda Arhimedu seveda neznano matematično orodje. Zanimala nas bo predvsem lepota njegove geometrijske rešitve.

1.UVOD

Geometrijska definicija parabole

Parabola je množica točk v ravnini, ki so enako oddaljene od izbrane premice (vodnice) in izbrane točke (gorišča), ki ne leži na vodnici. Os parabole je pravokotnica na vodnico skozi gorišče.

Klasična konstrukcija parabole

Izberemo poljubno točko H na vodnici in jo povežemo z goriščem F. Narišemo vzporednico z osjo parabole v točki H in simetralo daljice HF. Njuno presečišče označimo z A. AHF je enakokraki trikotnik z osnovnico HF, zato točka A leži na paraboli.

Analogno ponovimo za poljubno točko na vodnici in tako skonstruiramo parabolo.

Enačba parabole

Izpeljimo sedaj še enačbo parabole z goriščem in vodnico , kjer je p pozitivno število, ki ga imenujemo polparameter parabole.
Naj bo T(x,y) poljubna točka, ki je enako oddaljena od vodnice in gorišča, torej velja
d(T,vodnica) = d(T,F).

Iz skice 2 sledi, da je .

Od tod pa sledi, da je iskana enačba parabole y² = 2px.

2.ARHIMEDOVA PLOŠČINA PARABOLE

Določiti ploščino parabolnega odseka je eden Arhimedovih najimenitejših dosežkov. To mu je uspelo okoli 240 pr.n.š. Rešitev temelji na uporabi Arhimedovih trikotnikov.

Arhimedov trikotnik je trikotnik, katerega dve stranici ležita na tangentah na parabolo, tretja stranica (osnovnica) pa je tetiva med obema dotikališčema.

Konstrukcija Arhimedovega trikotnika temelji na klasični konstrukciji parabole.

Poljubni točki H in K na vodnici povežemo z goriščem F in narišemo vzporednici z osjo parabole v teh dveh točkah. Nato narišemo simetrali daljic HF in KF. Presečišče simetral označimo s S, presečišči simetral z vzporednicama z osjo parabole pa z A in B.
Točki A in B ležita na paraboli, daljici SA in SB pa ležita na tangentah na parabolo. Trikotnik ASB je torej Arhimedov trikotnik.

Ker daljici SA in SB ležita na simetralah trikotnika FHK, je vzporednica z osjo parabole skozi S simetrala daljice HK. Zato je tudi srednica trapeza AHKB. Daljico AB razpolavlja v točki M.
S tem dobimo trditev:

Težiščnica na osnovnico Arhimedovega trikotnika je vzporedna z osjo parabole.

Presečišče parabole s težiščnico SM na osnovnico označimo z O. Presečišče tangente na parabolo v točki O s stranico SA označimo z A', s stranico SB pa z B'. Trikotnika AA'O in BB'O sta tudi Arhimedova trikotnika z osnovnicama AO in BO.

Zgornja trditev nam pove, da sta težiščnici na osnovnici AO in BO vzporedni z osjo parabole in zato vzporedni z daljico SO. Razpolovišči daljic AO in BO označimo s T ' in T ''.

Trikotnika ASO in AA' T ' sta podobna trikotnika. Pravtako sta podobna trikotnika tudi trikotnika BSO in BB' T ''. Zato točki A' in B' razpolavljata stranici SA in SB. Daljica A'B' je torej srednica trikotnika ASB in zato vzporedna osnovnici AB. Točka O pa je razpolovišče daljice SM (podobnost trikotnikov SA'O in SAM).
Tako dobimo naslednjo trditev:

Težiščnica na osnovnico Arhimedovega trikotnika je vzporedna z osjo parabole.
Srednica vzporedna osnovnici je tangenta na parabolo in njeno presečišče s težiščnico na osnovnico leži na paraboli.

Daljica A'B' ter daljici OA in OB razdelijo trikotnik ASB na štiri dele:

• " notranji trikotnik " AOB znotraj parabolnega odseka,

• " zunanji trikotnik" A' SB' zunaj parabolnega odseka,

• dva" vmesna trikotnika" AA'O in BB'O , ki sta tudi Arhimedova trikotnika.

Ker O razpolavlja daljico SM, je ploščina notranjega trikotnika enaka dvakratni ploščini zunanjega trikotnika.

Na analogen način kot prej razdelimo oba vmesna Arhimedova trikotnika na notranji in zunanji trikotnik, ter na dva nova vmesna Arhimedova trikotnika, ki ju prebada parabola. Spet je ploščina notranjega trikotnika enaka dvakratni ploščini pripadajočega zunanjega trikotnika.
Tako nadaljujemo in pokrijemo celotno površino prvotnega Arhimedovega trikotnika ASB z notranjimi in zunanjimi trikotniki , saj postaja ploščina vmesnih trikotnikov poljubno majhna. Vsota ploščin notranjih trikotnikov je dvakrat tolikšna kot vsota ploščin zunanjih trikotnikov. Z drugimi besedami:

ARHIMEDOV IZREK:

Parabola razdeli Arhimedov trikotnik na dva dela, katerih ploščina je v razmerju 2:1.

Oziroma:

Ploščina parabolnega odseka je enaka dvem tretjinam ploščine pripadajočega Arhimedovega trikotnika.

Arhimed je prišel do tega zaključka na nekoliko drugačen način. Ploščino parabolnega odseka J je izračunal kot vsoto ploščin notranjih trikotnikov.
Z označimo ploščino osnovnega Arhimedovega trikotnika ASB. Ploščina pripadajočega notranjega trikotnika je enaka polovici , ploščina pripadajočega zunanjega trikotnika je enaka četrtini in ploščina vsakega izmed dveh vmesnih trikotnikov je enaka osmini .
Ploščine zaporednih Arhimedovih trikotnikov so torej enake

ploščine ustreznih notranjih trikotnikov pa so polovice teh ploščin. Vsakemu notranjemu trikotniku pripadata dva nova notranja trikotnika. Zato je vsota ploščin vseh zaporednih notranjih trikotnikov, ki je enaka ploščini parabolnega odseka, enaka

Znotraj oklepajev je geometrijska vrsta s kvocientom 1/4, njena vsota pa je enaka . Torej smo ponovno izračunali, da je .

Daljica A'B' leži na tangenti na parabolo v točki O, zato je višina h notranjega trikotnika AOB enaka višini parabolnega odseka z osnovnico AB. Ker je h enaka polovici višine trikotnika ASB, je in . Torej:

Ploščina parabolnega odseka je enaka 2/3 produkta med osnovnico in višino odseka.

Ploščino parabolnega odseka bomo še izrazili z vertikalno širino odseka q, to je projekcija osnovnice AB na vodnico parabole.

Točki A(X,Y) in B(x,y) ležita na paraboli, zato velja y² = 2px in Y² = 2pX.
Iz skice 6 sledi, da je

Če nadomestimo X in x z Y²/2p in y²/2p, dobimo
. Ker je vertikalna širina odseka q enaka Y - y, dobimo enakost

Zgornja izpeljava ne velja, če osnovnica AB seka os parabole.

Tedaj velja

Ponovno nadomestimo X in x z Y²/2p in y²/2p, kar nas spet pripelje do enakosti 12pJ = q³.

To pomembno formulo lahko izrazimo z besedami:

Šestkratni produkt parametra parabole in ploščine parabolnega odseka je enak kubu vertikalne širine tega odseka.

3.LITERATURA:

Steinhaus Hugo, One hundred problems in elementary mathematics,1963